Harald G. Grohganz
In meiner Diplomarbeit beschäftigte ich mich mit den Möglichkeiten, Stochastik zu visualisieren, d.h. Inhalte aus dem Gebiet der Mathematik, das sich mit den Gesetzmäßigkeiten zufälliger Ereignisse beschäftigt, anschaulich und dennoch im notwendigem Umfang mathematisch präzise und korrekt darzustellen.
Hierzu zählt insbesondere die Erstellung von Exponaten, die im Rahmen des Mathematikjahres beim HCM-Schülertag am 16. Mai, beim »Wissenschaftssommer« in Leipzig (28.06.-04.07.08) sowie im »Wissenschaftszelt Mathematik« (02.07.-05.07.2008) in Bonn präsentiert wurden. Diese umfassen zwei »faire Spiele« sowie eine Computersimulation, deren Funktionsweise durch ein weiteres Exponat erklärt wird.
Menschen spielen von Natur aus gerne - aber sie verlieren schnell die Lust daran, wenn sie das Gefühl haben, unfair behandelt zu werden. Aber was ist ein faires Spiel?
Mathematisch könnten wir Fairness dadurch beschreiben, dass der erwartete mittlere Gewinn mit dem erwarteten Verlust übereinstimmt. Ein Spiel, bei dem der erwartete Gewinn höher als der erwartete Verlust ist, wäre superfair.
In diesem Exponat wird ein superfaires Spiel vorgestellt, bei dem der Spieler trotzdem über längere Zeit immer sein gesamtes Kapital verliert. In einem Würfelspiel sind Sie aufgefordert, einen angemessenen (fairen?) Einsatz zu ermitteln und eine Strategie zu finden, die Ihren Gewinn maximiert.
Auch bei der mathematischen Analyse ganz anderer Vorgänge, wie zum Beispiel dem Wachstum von Tierpopulationen, in genetischen Modellen, bei der Untersuchung bestimmter Algorithmen und natürlich in der Finanzmathematik werden Modelle eingesetzt, die auf der mathematischen Abstraktion eines fairen bzw. superfairen Spiels basieren.
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In einem abgeschlossenen Ökosystem gibt es im einfachsten Fall eine Raubtierart und eine Beutetierart.
Je mehr Beutetiere vorhanden sind, desto mehr Räuber finden Nahrung, also nimmt die Population der Räuber bei steigender Anzahl der Beutetiere zu. Dadurch wiederum sinkt die Anzahl der Beutetiere und damit zeitversetzt auch die der Räuber aufgrund des geringeren Nahrungsangebots. Somit bleiben unter geeigneten Voraussetzungen die Populationen der Räuber und Beutetiere meistens für einen längeren Zeitraum in einem Gleichgewicht.
Räuber-Beute-Modelle werden in der theoretischen Biologie mit dem Ziel angewendet, dynamische Eigenschaften von Räuber-Beute-Beziehungen darzustellen, etwa um artspezifische Abhängigkeiten zu erkennen.
Bei diesem Exponat werden Wölfe (Raubtiere) und Schafe (Beutetiere) simuliert, wobei die Aktionen der Tiere durch einfache Regeln festgelegt werden. Die Entscheidung, welche Regel gerade angewendet wird, ist jedoch vom Zufall abhängig.
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Stochastik bezeichnet die »Mathematik des Zufalls« und ist Oberbegriff für die Gebiete Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik.
Die Wahrscheinlichkeitstheorie bestimmt - ausgehend von einem festen Modell - die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten bestimmter Ereignisse. Von besonderem Interesse sind Langzeitaussagen, die das Verhalten eines Systems über lange Zeit hinweg charaktierisieren.
Mathematische Statistik versucht - ausgehend von einigen Stichproben - die Eigenschaften des kompletten Systems zu erkennen.
Der Exzellenz-Cluster Hausdorff Center for Mathematics (HCM) bündelt die vielfältige mathematische Forschung in Bonn. Dem HCM gehört neben den vier mathematischen Instituten und der theoretischen Ökonomie auch das Max-Planck-Institut für Mathematik an.
Das 2006 eingerichtete HCM ist der einzige Exzellenz-Cluster in der Mathematik. Ziel ist es, mathematische Grundlagenforschung und ausgewählte Anwendungen parallel voranzubringen sowie den exzellenten wissenschaftlichen Nachwuchs und die internationale Zusammenarbeit zu fördern.